Question

18．為了解甲、乙兩個教學(xué)班級（每班學(xué)生數(shù)均為50人）的教學(xué)效果，期末考試后，對甲、乙兩個班級的學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，畫如圖甲班學(xué)生布線頻率分布直方圖和乙班學(xué)生成績頻數(shù)分布表，記成績不低于80分為優(yōu)秀．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖及頻數(shù)分布表，填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷有多大的把握認(rèn)為：“成績優(yōu)秀”與所在教學(xué)班級有關(guān)．

	甲班	乙班	總計
成績優(yōu)秀	28	20	48
成績不優(yōu)秀	22	30	52
總計	50	50	100

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.322	2.072	2.706	3.840	5.024

（2）在甲、乙兩個班成績不及格（低于60分）的學(xué)生中任選兩人，記其中甲班的學(xué)生人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)頻率分布直方圖可得甲班的成績“優(yōu)秀”的人數(shù)，（0.032+0.024）×10×50=28，可得“不優(yōu)秀”的人數(shù)．根據(jù)已知表格可得：乙班的成績“優(yōu)秀”的人數(shù)，12+8=20，即可得出“不優(yōu)秀”的人數(shù)．
（Ⅱ）由已知甲、乙兩班級不及格人數(shù)分別是：4人、6人ξ的所有取值為：0，1，2，利用P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{6}^{2-k}{∁}_{4}^{k}}{{∁}_{10}^{2}}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖可得甲班的成績“優(yōu)秀”的人數(shù)，（0.032+0.024）×10×50=28，
“不優(yōu)秀”的人數(shù)：50-28=22．
根據(jù)已知表格可得：乙班的成績“優(yōu)秀”的人數(shù)，12+8=20，
“不優(yōu)秀”的人數(shù)：50-20=30．
可得以下表格：

	甲班	乙班	總計
成績優(yōu)秀	28	20	48
成績不優(yōu)秀	22	30	52
總計	50	50	100

根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，${K^2}=\frac{{100{{（28×30-22×20）}^2}}}{48×52×50×50}≈2.564＞2.072$．…（5分）
所以，有85%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與所在教學(xué)班級有關(guān)．…（6分）
（Ⅱ）由已知甲、乙兩班級不及格人數(shù)分別是：4人、6人ξ的所有取值為：0，1，2…（7分）$P（ξ=0）=\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}=\frac{1}{3}$，$P（ξ=1）=\frac{C_6^1C_4^1}{{C_{10}^2}}=\frac{8}{15}$，$P（ξ=2）=\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{15}$

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

…（10分）
所求分布列的數(shù)學(xué)期望為：$Eξ=0×\frac{1}{3}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{15}=\frac{4}{5}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、超幾何分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望、獨(dú)立性檢驗思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．