Question

3．已知點(diǎn)M（-1，0）和N（-1，0），若某直線上存在點(diǎn)p，使得|PM|+|PN|=4，則稱該直線為“橢型直線”．現(xiàn)有下列直線：
①x-2y+6=0
②x-y=0
③2x-y+1=0
④x+y-3=0
其中是“橢型直線”的是（　　）

• A． ①③
• B． ①②
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 由題意可知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，把直線方程分別代入橢圓方程看是否有解即可判斷出結(jié)論．

解答 解：由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
對(duì)于①，把x-2y+6=0代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，并整理得16y²-68y+96=0，由△=68²-4×16×（96）=-1520＜0，
則x-2y+6=0不是橢型直線”；
對(duì)于②，把y=x代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，解得：x²=$\frac{12}{7}$成立，
∴x-y=0是“橢型直線”；
對(duì)于③，把2x-y+1=0代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，19x²+16x-8=0，由△=（16）²-4×19×（-8）＞0，
則2x-y+1=0是“橢型直線”
對(duì)于④把x+y-3=0代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，7x²-24x+24=0，△=（-24）²-4×7×24＜0，
則y=-x+3不是“橢型直線”；
故②③是“橢型直線”，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及方程思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組是否有解，屬中檔題．