Question

13．函數f（x）=x²-2ax+1，其中a＜1，在閉區(qū)間[-1，1]上的最小值記為g（a）．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求g（a）的值；
（2）求g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）化簡二次函數，求出最小值即可；
（2）求出f（x）的對稱軸是x=a，通過i）當a≤-1時，ii）當a≥1時，iii）當-1＜a＜1時分別求解函數的最小值即可得到結果．

解答 解：（1）當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=x²-x+1，f（x）的最小值為$\frac{3}{4}$，g（a）=$\frac{3}{4}$
（2）f（x）的對稱軸是x=a
i）當a≤-1時，f（x）在區(qū)間[-1，1]上為增函數，g（a）=f（-1）=2a+2
ii）當a≥1時，f（x）在區(qū)間[-1，1]上為減函數，g（a）=f（1）=2-2a
iii）當-1＜a＜1時，f（x）在x=a時最小，g（a）=1-a²
綜上所述$g（a）=\left\{{\begin{array}{l}{2a+2，a≤-1}\\{1-{a^2}，-1＜a＜1}\\{2-2a，a≥1}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查二次函數的性質，函數的最值的求法，分段函數的應用，考查計算能力．