Question

17．若a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{ab}$，則a³+b³的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 運用基本不等式可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，即為ab≥2，再由a³+b³≥2$\sqrt{（ab）^{3}}$，即可得到所求最小值．

解答 解：a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{ab}$，
可得$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，即為ab≥2，
則a³+b³≥2$\sqrt{（ab）^{3}}$≥2$\sqrt{{2}^{3}}$=4$\sqrt{2}$，
當且僅當a=b=$\sqrt{2}$時，取得最小值4$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查最值的求法，注意運用基本不等式和不等式的性質(zhì)，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．