Question

12．若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式x²-mx+（m-1）≥0恒成立
（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合；
（2）設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，且n=（a+$\frac{1}$）（mb+$\frac{1}{ma}$），求n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的值即可；
（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出n的最小值即可．

解答 解：（1）∵x²-mx+（m-1）≥0在R恒成立，
∴△=m²-4（m-1）≤0，解得：m=2，
故m∈{2}；
（2）∵m=2，a，b是正實(shí)數(shù)，
∴n=（a+$\frac{1}$）（mb+$\frac{1}{ma}$）
=（a+$\frac{1}$）（2b+$\frac{1}{2a}$）
=2ab+$\frac{1}{2ab}$+$\frac{5}{2}$
≥2$\sqrt{2ab•\frac{1}{2ab}}$+$\frac{5}{2}$
=$\frac{9}{2}$，
故n的最小值是$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．