Question

下列命題正確的是（　�。�

• A、

  7

  +

  10

  ＜

  3

  +

  14

• B、對任意的實數(shù)x，都有x³≥x²-x+1恒成立．
• C、y=

  4

  x2+2

  +x2(x∈R)的最小值為2
• D、y=2x（2-x），（x≥2）的最大值為2

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：必須對選項一一加以判斷：對A運用分析法考慮；對B應(yīng)用作差法考慮；對C應(yīng)用基本不等式考慮；對D應(yīng)用二次函數(shù)的最值求得．

解答： 解：因為

7

+

10

＜

3

+

14

?(

7

+

10

)2＜(

3

+

14

)2?17+2

70

＜17+2

42

?

70

＜

42

?70＜42，顯然不成立，所以A錯；
因為x³-（x²-x+1）=（x³-1）-（x²-x）=（x-1）（x²+x+1）-x（x-1）=（x-1）（x²+1），
所以對任意的實數(shù)x，x³-（x²-x+1）≥0不恒成立，只有x≥1，才恒成立，故B錯；
因為y=

4

x2+2

+x2=

4

x2+2

+(x2+2)-2≥2

4 x2+2 •(x2+2)

-2=4-2=2
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時y取最小值2，所以C正確；
因為y=2x（2-x）=-2（x-1）²+2，當(dāng)x≥2時，函數(shù)為減函數(shù)，x=2，y取最大值0，所以D錯．
故選：C

點評：本題主要考查不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，運用基本不等式求最值，注意一正二定三等，同時應(yīng)掌握不等式證明的分析法和作差法，本題是一道中檔題．