Question

20．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，動(dòng)點(diǎn)M（2，m）（m＞0）．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，證明：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式及b=1，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)圓的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得m的值，求得圓的方程；
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線，|ON|²=|OK||OM|，聯(lián)立直線OM與FN直線方程，求得K點(diǎn)坐標(biāo)，求得丨OK丨，|OM|，即可求得丨ON丨；則由向量$\overrightarrow{FN}$•$\overrightarrow{OM}$=0，則2x₀+y₀t=2，根據(jù)$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{ON}$=0，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得x₀²+y₀²=2，則$\overrightarrow{ON}$=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$．

解答 解：（Ⅰ）由題意得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，則a²=2b²，①
橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，1），則b=1，②
∴a²=2，c²=a²-b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）以O(shè)M為直徑的圓的圓心為$（1，\frac{m}{2}）$，半徑$r=\sqrt{\frac{m^2}{4}+1}$，
方程為${（x-1）^2}+{（y-\frac{m}{2}）^2}=\frac{m^2}{4}+1$，
因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2，
∴圓心到直線3x-4y-5=0的距離$d=\sqrt{{r^2}-1}=\frac{m}{2}$．
所以$\frac{|3-2m-5|}{5}=m$，解得m=4，
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5．
（Ⅲ）證明：過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線，垂足設(shè)為K，由平面幾何知：|ON|²=|OK||OM|．
則直線OM：$y=\frac{m}{2}x$，直線FN：$y=-\frac{2}{m}（x-1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{m}{2}x\\ y=-\frac{2}{m}（x-1）\end{array}\right.$得${x_K}=\frac{4}{{{m^2}+4}}$，（$\frac{4}{{t}^{2}+4}$，$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$）
∴$|ON{|^2}={x_K}\sqrt{（1+\frac{m^2}{4}）}•{x_M}\sqrt{（1+\frac{m^2}{4}）}=\frac{{4+{m^2}}}{4}•\frac{4}{{{m^2}+4}}•2=2$，
所以線段ON的長(zhǎng)為定值$\sqrt{2}$；
方法二：設(shè)N（x₀，y₀），則$\overrightarrow{FN}$=（x₀-1，y₀），$\overrightarrow{OM}$=（2，t），
則$\overrightarrow{MN}$=（x₀-2，y₀-m），$\overrightarrow{ON}$=（x₀，y₀），
則$\overrightarrow{FN}$•$\overrightarrow{OM}$=0，2（x₀-1）+my₀=0，
整理得：2x₀+y₀m=2，
由$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{ON}$=0，x₀（x₀-1）+y₀（y₀-m）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+y₀m=2，
則|$\overrightarrow{ON}$|=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴線段ON的長(zhǎng)為定值$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．