如圖,四面體中,、分別是、的中點,

(Ⅰ)求證:平面
(Ⅱ)求二面角的正切值;
(Ⅲ)求點到平面的距離.

(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)

解析試題分析:(1)由題意可知,為等腰三角形,邊上的中線,所以,再由已知條件算出的三條邊長,由此根據(jù)勾股定理,可證,從而得證平面;(2)作于F,連AF,由(1)知, 故,所以 ,則 是二面角的平面角,利用平面幾何知識即可算出其正切值;(3)設(shè)點E到平面ACD的距離為因為,所以,從而求出.也可以點為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),利用利用空間向量方法,求解各個小題,詳見解析.
試題解析:(Ⅰ)證明:連結(jié)OC


中,由已知可得

平面
(Ⅱ)解: 作于F,連AF
由(1)知, 故 
 , 是二面角的平面角,
易知,.
即所求二面角的正切值為 
(Ⅲ)解:設(shè)點E到平面ACD的距離為


中,



點E到平面ACD的距離為
方法二:(Ⅰ)同方法一.
(Ⅱ)解:以O(shè)為原點,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則

(Ⅲ)解:設(shè)平面ACD的法向量為


是平面ACD的一個法向量,又
點E到平面ACD的距離
考點:本題考查的知識點是空間直線與平面垂直的判定,空間點到平面的距離,二面角的平面角,其中(I)的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化,(II)(III)的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,利用向量法解決空間距離和夾角問題.

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(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.

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(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若與平面所成角為,且,求點到平面的距離.

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