Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x-1}$（a為常數(shù)），若函數(shù)y=f（x）在（e，+∞）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）在（e，+∞）內(nèi)有極值，f′（x）=0有不等的實(shí)根，其中至少一個在（e，+∞）內(nèi)，令φ（x）=x²-（2+a）x+1=（x-α）（x-β），可得αβ=1，β＞e．即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（2+a）x+1}{{x（x-1）}^{2}}$，函數(shù)f（x）在（e，+∞）內(nèi)有極值，
∴f′（x）=0有不等的實(shí)根，其中至少一個在區(qū)間（e，+∞）內(nèi)，
令φ（x）=x²-（2+a）x+1=（x-α）（x-β），可得αβ=1，
不妨設(shè)β＞α，則α∈（0，1），β∈（1，+∞），
∴β＞e，
∴φ（0）=1＞0，
∴φ（e）=e²-（2+a）e+1＜0，
∴a＞e+$\frac{1}{e}$-2，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（e+$\frac{1}{e}$-2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．