Question

6．如圖，在銳角△ABC中，D為AC邊的中點，且BC=$\sqrt{2}BD=2\sqrt{2}$，O為△ABC外接圓的圓心，且cos∠AOC=-$\frac{3}{4}$．
（1）求∠ABC的余弦值，
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓的性質可知∠AOC=2∠ABC.2cos²∠ABC-1=-$\frac{3}{4}$．解得cos∠ABC．
（Ⅱ）過點C作CE∥BA，與DB的延長線交于點E，連接AE在△BCE中，由余弦定理解得CE=2，AB=2．可得△ABC的面積s=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}=\sqrt{7}$．

解答 解：（Ⅰ）由圓的性質可知∠AOC=2∠ABC．
∵cos∠AOC=-$\frac{3}{4}$．∴2cos²∠ABC-1=-$\frac{3}{4}$．
解得cos∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（Ⅱ）過點C作CE∥BA，與DB的延長線交于點E，連接AE
又∵D為AC邊的中點，所以D為平行四邊形ABCE對角線的交點．
∴cos∠BCE=-cos∠ABC=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
在△BCE中，BC=2$\sqrt{2}$，BE=2DB=4，cos∠BCE=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
由余弦定理得BE²=BC²+CE²-2×BC×CE×cos∠BCE，
解得CE=2，∴AB=2．
∵cos∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴$sin∠ABC=\frac{\sqrt{14}}{4}$
∴△ABC的面積s=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}=\sqrt{7}$．

點評 本題考查了正余弦定理的應用，三角形的面積計算，添加輔助線對條件進行轉化，屬于中檔題．