Question

11．已知點(diǎn)N（-1，0），F(xiàn)（1，0）為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn)，點(diǎn)M是以N為圓心，4為半徑的圓上任意一點(diǎn)，線段MF的垂直平分線交于MN于點(diǎn)R．
（1）點(diǎn)R的軌跡為曲線E，求曲線E的方程；
（2）拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在直線l使A，F(xiàn)，Q是線段PB的四等分點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，求曲線E的方程；
（2）假設(shè)存在直線l使A，F(xiàn)，Q是線段PB的四等分點(diǎn)，則|AF|=$\frac{1}{2}$|FB|．求出直線方程，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，|RM|=|RF|，
∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4＞|NF|，
∴R的軌跡是以N，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，拋物線的方程為y²=4x，
假設(shè)存在直線l使A，F(xiàn)，Q是線段PB的四等分點(diǎn)，則|AF|=$\frac{1}{2}$|FB|．
直線l斜率顯然垂直，設(shè)方程為y=k（x-1）（k≠0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線代入拋物線方程，整理可得ky²-4y-4k=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$①，y₁y₂=-4，②
∵|AF|=$\frac{1}{2}$|FB|，∴$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=-2③，
∴由①②③解得k=±2$\sqrt{2}$．
k=2$\sqrt{2}$時(shí)，直線l的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-1），解得A（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），B（2，2$\sqrt{2}$）．
直線與橢圓方程聯(lián)立解得P（$\frac{2}{5}$，-$\frac{6\sqrt{2}}{5}$），A（$\frac{10}{7}$，$\frac{6\sqrt{2}}{7}$），
∵y_B≠2y_Q，∴Q不是FB的中點(diǎn)，即A，F(xiàn)，Q不是線段PB的四等分點(diǎn)，
同理可得k=-2$\sqrt{2}$時(shí)，A，F(xiàn)，Q不是線段PB的四等分點(diǎn)，
∴不存在直線l使A，F(xiàn)，Q是線段PB的四等分點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查反證法，屬于中檔題．