已知定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）+log 
1
2
x]=3，則方程f（x）=2-x3的解的個數(shù)是
 
．
考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：由題設知必存在唯一的正實數(shù)a，滿足f（x）+log 
1
2
x=a，f（a）=3，f（a）+log 
1
2
a=a，故3+log 
1
2
a=a，log 
1
2
a=a-3，a=(
1
2
)a-3，左增，右減，有唯一解a=2，
故f（x）+log 
1
2
x=a=2，由此能夠?qū)С龇匠蘤（x）=2-x3的解的個數(shù)是1．
解答： 解：∵定義域為（O，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），
滿足f[f（x）+log 
1
2
x]=3，f（x）=2-x3，
∴必存在唯一的正實數(shù)a，
滿足f（x）+log 
1
2
x=a，f（a）=3，①
∴f（a）+log 
1
2
a=a，②
由①②得：3+log 
1
2
a=a，log 
1
2
a=a-3，a=(
1
2
)a-3，左增，右減，有唯一解a=2，
故f（x）+log 
1
2
x=a=2，
f（x）=2-log
1
2
x，
由2-log
1
2
x=2-x3，得log
1
2
x=x3，
∴由函數(shù)圖象可知f（x）=2-x3的解只有一個．
故答案為1．
點評：本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)的綜合運用，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
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函數(shù)y=ax+1（a＞0且a≠1）圖象恒過定點（　�。�
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x+2y-5＞0
2x+y-7＞0
x≥0，y≥0
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．

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|a-1|
a2-9
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（1）若函數(shù)g（x）=f（x）+f（x+m+1）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)遞增的，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）令h（x）=f（2x）+f（2x+1），不等式h（x）＞lgk對任意的x∈[1，2]恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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求函數(shù)y=
2x
40+5x
的值域．

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設α是第四象限角，且|cos
α
2
|=-cos
α
2
，則
α
2
是第
 
象限角．

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