Question

15．定義：若函數f（x）對于其定義域內的某一數x₀，有f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的一個不動點．已知函數f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當a=1，b=3時，求函數f（x）的不動點；
（2）若對任意的實數b，函數f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數f（x）的不動點，且A、B的中點C在函數g（x）=-x+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$的圖象上，求b的最小值．（參考公式：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中點坐標為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$））

Answer 1

分析 （1）當a=1，b=3時，f（x）=x²+4x+2，由x²+4x+2=x，解得答案；
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，則ax²+bx+b-1=0 ①，則方程①恒有兩個不等實根，即b²-4ab+4a＞0恒成立，則△′=16a²-16＜0，解得a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，x₁+x₂=-$\frac{a}$=$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$，即b=$\frac{-2{a}^{2}}{5{a}^{2}-4a+1}$=$\frac{-2}{（\frac{1}{a}-2）^{2}+1}$，進而得到b的最小值．

解答 解：（1）當a=1，b=3時，f（x）=x²+4x+2，
由x²+4x+2=x，
解得x=-2或x=-1，
所以所求的不動點為-1或-2．
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，則ax²+bx+b-1=0 ①
由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立，
則△′=16a²-16＜0，
故0＜a＜1
（3）設A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），g（x）=-x+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$，
又AB的中點在該直線上，所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$=$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$，
∴b=$\frac{-2{a}^{2}}{5{a}^{2}-4a+1}$=$\frac{-2}{（\frac{1}{a}-2）^{2}+1}$
∴當 a=$\frac{1}{2}$∈（0，1）時，b_min=-2．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．