Question

16．已知等邊△AB′C′邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，△BCD中，$BD=CD=1，BC=\sqrt{2}$（如圖1所示），現(xiàn)將B與B′，C與C′重合，將△AB′C′向上折起，使得$AD=\sqrt{3}$（如圖2所示）．
（1）若BC的中點(diǎn)O，求證：平面BCD⊥平面AOD；
（2）在線段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30°角，若存在，求出CE的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求三棱錐A-BCD的外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用平面幾何中等腰三角形的三線合一，結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延長(zhǎng)線于H，運(yùn)用平面幾何中有關(guān)性質(zhì)，以及線面垂直和面面垂直的性質(zhì)，可得∠EDF就是ED與面BCD所成的角．運(yùn)用直角三角形的知識(shí)，計(jì)算可得CE；
（法2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線DB，DC分別為x軸，y軸的正方向，以過(guò)D與平面BCD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CE=x，求出E的坐標(biāo)，運(yùn)用法向量，以及向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求；
（3）將原圖補(bǔ)形成正方體，由AC=$\sqrt{2}$，可得正方體邊長(zhǎng)為1，可得外接球的直徑即為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，由球的表面積公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，
且O為中點(diǎn)，
∴BC⊥AO，BC⊥DO，
∵AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD，
又BC?面ABC
∴平面BCD⊥平面AOD…（3分）
（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延長(zhǎng)線于H，
則平面BCD∩平面AOD=HD，則AH⊥平面BCD，
在Rt△BCD中，$OD=\frac{1}{2}BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
在Rt△ACO中，$AO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
在△AOD中，$cos∠ADO=\frac{{A{D^2}+O{D^2}-A{O^2}}}{2AD•OD}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$sin∠ADO=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，在Rt△ADH中AH=ADsin∠ADO=1，
設(shè)$CE=x（0≤x≤\sqrt{2}）$，作EF⊥CH于F，平面AHC⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD，∠EDF就是ED與面BCD所成的角．
由$\frac{EF}{AH}=\frac{CE}{AC}$，∴$EF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$（※），
在Rt△CDE中，$DE=\sqrt{C{E^2}+C{D^2}}=\sqrt{{x^2}+1}$，
要使ED與面BCD成30°角，只需使$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}=\frac{1}{2}$，
∴x=1，當(dāng)CE=1時(shí)，ED與面BCD成30°角…（9分）
（法2）在解法1中接（※），以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以直線DB，DC分別為x軸，y軸的正方向，
以過(guò)D與平面BCD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則$D（0，0，0），E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}x，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}x）$，$\overrightarrow{DE}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}x，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}x）$，
又平面BCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow n=（0，0，1）$，要使ED與面BCD成30°角，
只需使$\overrightarrow{DE}與\overrightarrow n$成60°，
只需使$\frac{{|{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow{DE}}|•|{\overrightarrow n}|}}=cos{60°}$，即$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}=\frac{1}{2}$，∴x=1，
當(dāng)CE=1時(shí)ED與面BCD成30°角；
（3）將原圖補(bǔ)形成正方體，由AC=$\sqrt{2}$，可得正方體邊長(zhǎng)為1，
則外接球的直徑為$\sqrt{3}$，即半徑$r=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
表面積：S=4πr²=3π…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定，注意運(yùn)用線面垂直的判定，考查線面角的求法，注意運(yùn)用線面角的定義和向量法，考查三棱錐的外接球的表面積，注意運(yùn)用割補(bǔ)思想，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．