Question

20．平面直角坐標系xOy中，雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）交于點O，A，B．若△OAB的垂心為C₂的焦點，則C₁的漸近線方程為$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$．

Answer 1

分析 由三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，由此可得C₁的漸近線方程．

解答 解：聯(lián)立漸近線與拋物線方程得$A（\frac{2pb}{a}\;，\;\frac{{2p{b^2}}}{a^2}）\;，\;B（-\frac{2pb}{a}\;，\;\frac{{2p{b^2}}}{a^2}）$，拋物線焦點為$F（0\;，\;\frac{p}{2}）$，
由三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，
又${k_{BF}}=\frac{{\frac{p}{2}-\frac{{2p{b^2}}}{a^2}}}{{\frac{2pb}{a}}}=\frac{a}{4b}-\frac{a}\;，\;{k_{OA}}=\frac{a}$，
所以$（\frac{a}{4b}-\frac{a}）\frac{a}=-1⇒\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4}$．
所以C₁的漸近線方程為$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$．
故答案為：$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的計算能力．