Question

11．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且滿足f（x+1）=-f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x³，則函數(shù)ϕ（x）=f（x）-log₃|x-2|的所有零點(diǎn)之和為（　�。�

• A． 24
• B． 28
• C． 32
• D． 36

Answer 1

分析 由題目給出的等式及函數(shù)是偶函數(shù)可得函數(shù)的周期為2，再由函數(shù)在x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-2x³，分析函數(shù)ylog₃|x-2|在x=9時(shí)的函數(shù)值為2，所以兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)可知，再根據(jù)函數(shù)的對稱性可得的答案

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
∴滿足f（x+2）=f（x），
故函數(shù)的周期為2．
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x³，
故當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-2x³．
在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log₃|x-2|的圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)ϕ（x）關(guān)于x=2對稱，
當(dāng)x＞2時(shí)，有8個(gè)零點(diǎn)，
故ϕ（x）=f（x）-log₃|x-2|的所有零點(diǎn)之和為8×4=32，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的周期性與函數(shù)的零點(diǎn)，考查了函數(shù)周期的求法，解答此題的關(guān)鍵是明確函數(shù)ϕ（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是兩函數(shù)y=f（x）與y=log₃|x-2|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．