Question

1．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁作x軸的垂線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若$∠A{F_2}B＜\frac{π}{3}$，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（{1，\sqrt{3}}）$
• B． $（{1，\sqrt{6}}）$
• C． $（{1，2\sqrt{3}}）$
• D． $（{\sqrt{3}，3\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 直接利用雙曲線的通徑與$∠A{F_2}B＜\frac{π}{3}$，得到a，b，c的關(guān)系，運(yùn)用離心率公式，求出雙曲線的離心率的范圍．

解答 解：由題意可知，雙曲線的通徑為：$\frac{2^{2}}{a}$，
因?yàn)檫^焦點(diǎn)F₁且垂直于x軸的弦為AB，若$∠A{F_2}B＜\frac{π}{3}$，
所以$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$=tan∠AF₂B＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，e=$\frac{c}{a}$＞1，
所以$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2ac}＜\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}e-\frac{1}{2e}＜\frac{\sqrt{3}}{3}$，由解得e∈（1，$\sqrt{3}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，雙曲線的離心率的求法，考查計(jì)算能力．