Question

設(shè)S_n為正項數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=

1

4

（a_n+3）（a_n-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

an+1

an

+

an

an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=

1

4

（a_n+3）（a_n-1），利用當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n-a_n-1=2，當(dāng)n=1時，a₁=S₁=

1

4

(a1+3)(a1-1)，解得a₁，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可得b_n=

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

=2+2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

4

（a_n+3）（a_n-1），∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=

1

4

(an-1+3)(an-1-1)，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（a_n+3）（a_n-1）-

1

4

(an-1+3)(an-1-1)，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=

1

4

(a1+3)(a1-1)，a₁＞0，解得a₁=3．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為3，公差為2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）可得b_n=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

=2+2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=2n+2[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=2n+2(1-

1

2n+1

)
=2n+

4n

2n+1

．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．