Question

12．通過研究函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在x∈R內的零點個數(shù)，進一步研究得函數(shù)g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n＞3，n∈N且n為奇數(shù)）在x∈R內零點有3個．

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1進行求導，求得函數(shù)的極值，單調性，判斷零點個數(shù)，對于函數(shù)g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）用同樣的方法可得，注意計算時整體代換．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1
∴f′（x）=8x³-20x+2=2（4x³-10x+1）
在f′（x）=0時，
f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
=2x⁴-5x²+$\frac{1}{2}$x-5x²+$\frac{3}{2}$x-1，
=$\frac{1}{2}$（4x³-10x+1）-5x²+$\frac{3}{2}$x-1，
=-5x²+$\frac{3}{2}$x-1，
由于判別式△＜0，
∴f（x）的所有極值均是負數(shù)．
又∵當x趨向于負無窮和正無窮時均為無窮大，
∴零點有兩個．
g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n＞3，n∈N且n為奇數(shù)）
也有，g′（x）=0時有，g（x）=（$\frac{20}{n}$-10）x²+（2-$\frac{2}{n}$）x-1
可知n＞3時，其判別式△＜0
n為奇數(shù)時，有3個零點，
故答案為：3．

點評 考查函數(shù)零點判定定理和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值等問題，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力，屬于中檔題．