Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x-{（sinx-cosx）^2}（x∈R）$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求$g（-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）用三角函數(shù)的平移變換規(guī)律，求解出g（x）的解析式，即可求出$g（-\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x-{（sinx-cosx）^2}（x∈R）$．
化簡可得：f（x）=$2\sqrt{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x）$-1+2sinxcosx
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}-1$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-1$
即$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，（k∈Z）$，
得：$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，（k∈Z）$．
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1$，
把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到$f（x）=2sin（x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1$的圖象，再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到$f（x）=2sinx+\sqrt{3}-1$的圖象，
即$g（x）=2sinx+\sqrt{3}-1$．
那么：$g（-\frac{π}{3}）=2sin（-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1=-1$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平移變換的規(guī)律，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．