Question

3．如圖1是四棱錐的直觀圖，其正（主）視圖和側(cè)（左）視圖均為直角三角形，俯視圖外框?yàn)榫匦�，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示．

（1）設(shè)AB中點(diǎn)為O，在直線PC上找一點(diǎn)E，使得OE∥平面PAD，并說明理由；
（2）若二面角P-AC-D的平面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，求四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)E是PC中點(diǎn)時(shí)，OE∥平面PAD，取PD中點(diǎn)F，連接AF、EF、OF，證明四邊形EFAO是平行四邊形，然后證明OE∥平面ADP．
（2）過D作DH⊥AC交AC于點(diǎn)H，連接PH，說明∠PHD是二面角P-AC-D的平面角，判斷四棱錐P-ABCD的外接球的直徑即為PB，求解PB，然后求解四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

解答 解：（1）當(dāng)E是PC中點(diǎn)時(shí)，OE∥平面PAD，
證明如下：取PD中點(diǎn)F，連接AF、EF、OF，
在△PDC中，E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，
∴EF是△PDC的中位線，
∴EF∥DC且$EF=\frac{1}{2}DC$，又O是AB中點(diǎn)，AB=DC，
∴EF∥AO且EF=AO，
∴四邊形EFAO是平行四邊形，
∴OE∥AF．
又∵AF?平面ADP，OE?平面ADP，
∴OE∥平面ADP．

（2）由三視圖可得PD⊥平面ABCD，
在底面ABCD中，過D作DH⊥AC交AC于點(diǎn)H，連接PH，

∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又DH⊥AC，DH?平面ABCD，PD?平面ABCD，∵DH∩PD=D，∴AC⊥平面PD
又PH?平面PDH，∴PH⊥AC，
∴∠PHD是二面角P-AC-D的平面角，
在底面矩形ABCD，AB=8，AD=4，∴$AC=4\sqrt{5}$，$DH=\frac{8}{{\sqrt{5}}}$，
在Rt△PDH中，又$cos∠PHD=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∴$tan∠PHD=\frac{PD}{DH}=\sqrt{5}$，∴PD=8．
由直觀圖易知四棱錐P-ABCD的外接球的直徑即為PB，
∴PB²=PD²+DB²=144．
故四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4πR²=144π．

點(diǎn)評 本題考查二面角的平面角的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，外接球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．