Question

【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）求證：當(dāng)a＞ln2﹣1且x＞0時(shí)，ex＞x2﹣2ax+1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞),極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)；（Ⅱ）求證：當(dāng)a＞ln2－1且x＞0時(shí)，ex＞x2－2ax＋1．

【解析】試題分析：（1）由，知．令，得．列表討論能求出的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值．

（2）設(shè)，于是,由（1）知當(dāng)時(shí)，最小值為，于是對(duì)任意，都有，所以在內(nèi)單調(diào)遞增．由此能夠證明．

試題解析：解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，

∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．

令f′（x）=0，得x=ln2．

于是當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，ln2），

單調(diào)遞增區(qū)間是（ln2，+∞），

f（x）在x=ln2處取得極小值，

極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），無極大值．

（2）證明：設(shè)g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，

于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．

由（1）知當(dāng)a＞ln2﹣1時(shí)，

g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．

于是對(duì)任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增．

于是當(dāng)a＞ln2﹣1時(shí)，對(duì)任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．

而g（0）=0，從而對(duì)任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．

即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，

故ex＞x2﹣2ax+1．