Question

【題目】已知橢圓： （）過點(diǎn)，且橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，再過作直線．求直線是否恒過定點(diǎn)，如果是則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，不是請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線恒過定點(diǎn)．

【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，利用點(diǎn)在橢圓上和離心率得到方程組，解出a和b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，需要對(duì)直線MN的斜率是否存在進(jìn)行討論，（ⅰ）若存在點(diǎn)P在MN上，設(shè)出直線MN的方程，由于直線MN與橢圓相交，所以兩方程聯(lián)立，得到兩根之和，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到直線MN的斜率，由于直線MN與直線垂直，從而得到直線的斜率，因?yàn)橹本�也過點(diǎn)P，寫出直線的方程，經(jīng)過整理，即可求出定點(diǎn)，（ⅱ）若直線MN的斜率不存在，則直線MN即為，而直線為x軸，經(jīng)驗(yàn)證直線，也過上述定點(diǎn)，所以綜上所述，有定點(diǎn)．

（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以， 所以， 1分

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即， 2分

解得， 所以橢圓的方程為． 4分

（2）設(shè)， ，

①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， ， ，

由得，

所以， 因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，即．

所以， 8分

因?yàn)橹本�，所以，所以直線的方程為，

即，顯然直線恒過定點(diǎn)． 10分

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線為軸，也過點(diǎn)．

綜上所述直線恒過定點(diǎn)． 12分