Question

15．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）通過(guò)當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，分別求解判斷求解函數(shù)的最小值，推出a的取值范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$，…（1分）
當(dāng)a≤0時(shí)，∵x＞0，∴f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增…（3分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x=a，
∵x＞0，∴f'（x）＞0得x＞a；f'（x）＜0得0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，
在（a，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）＞0恒成立…（6分）
當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞，f（x）≥0不成立…（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知f（x）_min=f（a）=a-alna，由f（a）=a-alna≥0
得1-lna≥0，∴a∈（0，e]…（11分）
綜上所述，a的取值范圍是[0，e]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．