Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，橢圓上一點到橢圓兩焦點距離之和為，如圖，為坐標原點，平行與的直線l交橢圓于不同的兩點、．

（1）求橢圓方程；

（2）若的橫坐標為，求面積的最大值；

（3）當在第一象限時，直線，交x軸于，，若PE＝PF，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）面積的最大值為2（3）點坐標為

【解析】

（1）由題得，，解方程即得橢圓的方程；（2）設直線為，先求出，點到直線的距離，即得；（3）設點的坐標為，，，

根據得到，又，解方程組即得解.

（1）因為橢圓上一點到兩焦點距離之和為，所以，即．

又因為橢圓的離心率為，所以，所以，

，所以橢圓方程為．

（2）設點，，

的橫坐標代入，解得的縱坐標為，

所以直線的斜率為1，因為，

所以設直線為，聯立，得，

，解得，

，，

所以，

點到直線的距離

，

當時取得等號，

所以面積的最大值為2．

（3）設點的坐標為，，，所以，即

則，設直線，聯立，

整理得，

所以，，

因為，所以，，

所以，

化簡得，

把，代入上式，化簡得，

∵，，所以，，因此點坐標為．