Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，關(guān)于x的不等式f²（x）+af（x）＞0只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{ln3}{3}$，-$\frac{ln2}{2}$]
• B． （-$\frac{1}{e}$，-$\frac{ln2}{2}$]
• C． [$\frac{ln2}{2}$，-$\frac{ln3}{3}$]
• D． [$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)，求出f（x）的單調(diào)性，通過討論a的符號(hào)，結(jié)合圖象，解關(guān)于f（x）的不等式結(jié)合不等式解的個(gè)數(shù)，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，e），遞減區(qū)間為（e，+∞），故f（x）的最大值是f（e）=$\frac{1}{e}$．
x→+∞時(shí)，f（x）→0，x→0時(shí)，x→-∞，f（1）=0，故在（0，1）時(shí)，f（x）＜0，在（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，
函數(shù)f（x）的圖象如下：

①a＜0時(shí)，由不等式f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞-a＞0或f（x）＜0，
而f（x）＜0的解集為（0，1）無整數(shù)解，f（x）＞-a＞0的解集整數(shù)解一個(gè)，
∵f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
而2＜e＜3，f（2）=f（4）＜f（3），這一個(gè)正整數(shù)只能為3，
∴f（2）≤-a＜f（3），∴-$\frac{ln3}{3}$＜a$≤-\frac{ln2}{2}$
②a=0時(shí)，由不等式f²（x）+af（x）＞0，得f（x）≠0，解集為（0，1）∪（1，+∞），
整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意；
③a＞0時(shí)，由不等式f²（x）+af（x）＞0，得f（x）＞0或f（x）＜-a＜0，
∵f（x）＜-a＜0的解集為（0，1）無整數(shù)解，而f（x）＞0的解集為（1，+∞），整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意；
 綜上，故選：A

點(diǎn)評(píng) 題考查了函數(shù)圖象及單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．