Question

20．一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？

Answer 1

分析 設(shè)小正方形的邊長為xcm，則盒子底面長為（8-2x）cm，寬為（5-2x）cm，高為xcm，運用長方體的體積公式可得無蓋的小盒子的容積，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極大值，即為最大值，以及最大值點．

解答 解：設(shè)小正方形的邊長為xcm，
則盒子底面長為（8-2x）cm，寬為（5-2x）cm，
可得體積V=（8-2x）（5-2x）x=4x³-26x²+40x，（0＜x＜$\frac{5}{2}$），
V′=12x²-52x+40，令V′=0，
可得x=1或x=$\frac{10}{3}$（舍去），
當(dāng)0＜x＜1時，導(dǎo)數(shù)V′＞0，函數(shù)V遞增；
當(dāng)1＜x＜$\frac{5}{2}$時，導(dǎo)數(shù)V′＜0，函數(shù)V遞減．
可得函數(shù)V在x=1處取得極大值，且為最大值18．
即小正方形邊長為1cm時，盒子容積最大為18cm³．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的運用：求最值，考查化簡整理的運算能力，正確求出體積的函數(shù)式和導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．