Question

10．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），利用cos²t+sin²t=1消去參數(shù)可得普通方程，即可得出表示的曲線．C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)可得普通方程，即可得出表示的曲線．
（2）當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ）．利用中點坐標(biāo)公式可得線段PQ中點M$（-2+4cosθ，2+\frac{3}{2}sinθ）$，C₃為直線x-2y-7=0，利用點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），
消去參數(shù)可得：（x+4）²+（y-3）²=1，
因此C₁是以（-4，3）為圓心，半徑是1的圓．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)可得：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
因此C₂為中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓．
（2）當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ）．
∴線段PQ中點M$（-2+4cosθ，2+\frac{3}{2}sinθ）$，
C₃為直線x-2y-7=0，
M到C₃的距離d=$\frac{|-2+4cosθ-4-3sinθ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}|5sin（θ-φ）+13|}{5}$，
從而當(dāng)cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$時，
d取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、點到直線的距離公式、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，屬于中檔題．