Question

15．直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AA₁=AB=1，點(diǎn)O₁、O分別是上下底菱形對角線的交點(diǎn)．
（1）求證：A₁O∥平面CB₁D₁；
（2）求點(diǎn)O到平面CB₁D₁的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OA₁和CO₁，證明四邊形A₁O₁CO為平行四邊形，可得A₁O∥O₁C，利用線面平行的判定定理證明A₁O∥平面CB₁D₁；
（2）先證明出平面CB₁D₁⊥平面O₁OC，利用等面積求點(diǎn)O到平面CB₁D₁的距離．

解答 證明：（1）連結(jié)OA₁和CO₁，
在四邊形OCO₁A₁中，OC∥A₁O₁且A₁O₁=OC，
∴四邊形A₁O₁CO為平行四邊形，
∴A₁O∥O₁C
又O₁C?平面CB₁D₁，A₁O?平面CB₁D₁，
∴A₁O∥平面CB₁D₁；
解：（2）由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，可得B₁D₁⊥平面O₁OC，
∵B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴平面CB₁D₁⊥平面O₁OC，
設(shè)點(diǎn)O到平面CB₁D₁的距離為h，則△O₁OC中，OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O₁O=1，
∴O₁C=$\sqrt{\frac{3}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
由等面積可得h=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴點(diǎn)O到平面CB₁D₁的距離為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．