Question

8．已知函數(shù)f（x）=cos（x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）若f（α）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，求sin2α的值；
（II）設g（x）=f（x）•f（x+$\frac{π}{2}$），求函數(shù)g（x）在R的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角差的余弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值化簡已知即可得解sin2α的值．
（II）利用誘導公式，特殊角的三角函數(shù)值，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和的余弦函數(shù)公式化簡可求g（x）=$\frac{1}{2}$cos2x，利用余弦函數(shù)的有界性即可得解．

解答 解：（Ⅰ）因為f（α）=cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
所以 cosα+sinα=$\frac{7}{5}$．
平方得，cos²α+2sinαcosα+sin²α=$\frac{49}{25}$，
所以  sin2α=$\frac{24}{25}$．…（6分）
（II）因為g（x）=f（x）•f（x+$\frac{π}{2}$）=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx+sinx）$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx-sinx）=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）
=$\frac{1}{2}$cos2x．…（10分）
所以g（x）的最大值為$\frac{1}{2}$；g（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，誘導公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的有界性在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．