Question

13．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=10，a₂為整數(shù)，且a₃∈[3，5]．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a₁=10，a₂為整數(shù)知，公差d為整數(shù)．由a₃=10+2d∈[3，5]，化為$-\frac{7}{2}$≤d$≤-\frac{5}{2}$，解得d=-3．即可得出．（2）${b_n}=\frac{1}{（13-3n）（10-3n）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{13-3n}）$，利用“裂項(xiàng)求和方法”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由a₁=10，a₂為整數(shù)知，∴公差d為整數(shù)．
∵a₃=10+2d∈[3，5]，∴$-\frac{7}{2}$≤d$≤-\frac{5}{2}$，解得d=-3．
∴a₃=10-2×3=4．
{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=10-3（n-1）=13-3n．
（2）${b_n}=\frac{1}{（13-3n）（10-3n）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{13-3n}）$，
于是${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{3}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{10}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{13-3n}）]$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{10}）=\frac{n}{10（10-3n）}$=$\frac{1}{10（\frac{10}{n}-3）}$，
n≥4時(shí)，T_n＜0．
n≤3時(shí)，T_n＞0，則n=3的時(shí)，取最大值$\frac{3}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和方法”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．