Question

已知函數(shù)f(x)=-ax(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若a=1，函數(shù)在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)，求整數(shù)m的最大值.

Answer 1

(1)當(dāng)時，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)；(2)的最大值為1．

試題分析：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性首先注意明確函數(shù)的定義域，由于該函數(shù)是超越函數(shù)與一次函數(shù)的和構(gòu)成的，所以考慮用導(dǎo)數(shù)，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知要確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)須按和分類討論,確定導(dǎo)數(shù)的符號而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)在恒成立，分離參數(shù)m，從而將所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，構(gòu)造新函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的最小值即可；注意所求的m為整數(shù)這一特性．
試題解析：(1)定義域為，，
當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)；      2分
當(dāng)時，由得，且當(dāng)時，，
當(dāng)時，
所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)．     6分
(2)當(dāng)時，，
若在區(qū)間上為增函數(shù)，
則在恒成立，
即在恒成立           8分
令，；
，；令，
可知，，
又當(dāng)時，
所以函數(shù)在只有一個零點，設(shè)為，即，
且；    9分
由上可知當(dāng)時，即；當(dāng)時，即，
所以，，有最小值，    10分
把代入上式可得，又因為，所以，
又恒成立，所以，又因為為整數(shù)，
所以，所以整數(shù)的最大值為1．       12分