Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞增，且對(duì)于任意a≥0，方程f（x）=a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則函數(shù)g（x）=f（x）-x在區(qū)間[0，2ⁿ]（n∈N^*）上所有零點(diǎn)的和為（　　）

• A． $\frac{n（n+1）}{2}$
• B． 2^2n-1+2^n-1
• C． $\frac{（1+{2}^{n}）^{2}}{2}$
• D． 2ⁿ-1

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞增，對(duì)于任意a≥0，方程f（x）=a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，可得函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞增，且圖象連續(xù)，即m=1
其圖象如下：函數(shù)g（x）=f（x）-x在區(qū)間[0，2ⁿ]（n∈N^*）上所有零點(diǎn)分別為0，1，2，3，…2ⁿ，根據(jù)等差數(shù)求和公式求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴m≥1，
由因?yàn)閷?duì)于任意a≥0，方程f（x）=a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞增，且圖象連續(xù)，所有m=1
其圖象如下：函數(shù)g（x）=f（x）-x在區(qū)間[0，2ⁿ]（n∈N^*）上所有零點(diǎn)分別為0，1，2，3，…2ⁿ，
∴所有零點(diǎn)的和等于$\frac{{2}^{n}（1+{2}^{n}）}{2}={2}^{n-1}+{2}^{2n-1}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，求解本題，關(guān)鍵是研究出函數(shù)f（x）性質(zhì)，作出其圖象，將函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，2ⁿ]（n∈N^*）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題．