Question

（14分）設(shè)函數(shù)，其中.

(Ⅰ)若，求在上的最小值；

（Ⅱ）如果在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）是否存在最小的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；

（Ⅲ）存在最小的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）由題意知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821584590444857/SYS201209182159323028187970_DA.files/image007.png">，b=-12時(shí)，由，得x=2(x=-3舍去)，當(dāng)時(shí)，，  當(dāng)時(shí)，得到單調(diào)性，求解最值。

（2）由題意可知在給定區(qū)間上有兩個(gè)不等的實(shí)根，因此借助于二次函數(shù)解得。

（3）構(gòu)造該函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，然后得到不等式的證明。

解：（Ⅰ）由題意知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821584590444857/SYS201209182159323028187970_DA.files/image007.png">，b=-12時(shí)，由，得x=2(x=-3舍去)，當(dāng)時(shí)，，  當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

所以；    ……………5分

（Ⅲ），則，

，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又時(shí)，恒有，

顯然，存在最小的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.………14分