Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知側(cè)面ABB1A1是菱形，側(cè)面BCC1B1是正方形，點(diǎn)A1在底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)D．
（1）證明：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（2）設(shè)P為B1C1上一點(diǎn)，且 ，求二面角A1﹣AB﹣P的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點(diǎn)A1在底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)D，

∴A1D⊥平面ABC，則A1D⊥BC，

又∵側(cè)面BCC1B1是正方形，∴B1B⊥BC，

∵B1B與A1D在平面ABB1A1上不平行，

∴BC⊥平面ABB1A1，

∴平面AA1B1B⊥平面BB1C1C

（2）解：如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2，得D（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（0，1，0），

∵D為AB的中點(diǎn)，且有A1D⊥AB，∴AA1=A1B，

又∵平面ABB1A1為菱形，∴△A1AB為等邊三角形，

從而 ，從而 ，

∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 ，

∵ ，∴ ，

又∵ ，∴ ，

設(shè)平面ABP的法向量為 ，

由 ， ，

得 ，即 ，

令 ，則 ，y=0，∴ ，

同理求得平面ABB1A1的法向量 ，

∴ ，

∴ ，

從而二面角A1﹣AB﹣P的正弦值為 ．

【解析】（1）由點(diǎn)A1在底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)D，可得A1D⊥平面ABC，則A1D⊥BC，再由已知可得B1B⊥BC，由線面垂直的判定可得BC⊥平面ABB1A1 ， 從而得到平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面ABP與平面ABB1A1的法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得二面角A1﹣AB﹣P的正弦值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．