【題目】已知圓C的圓心在直線l2xy0上,且與直線l1xy+10相切.

(Ⅰ)若圓C與圓x2+y22x4y760外切,試求圓C的半徑;

(Ⅱ)滿足已知條件的圓顯然不只一個,但它們都與直線l1相切,我們稱l1是這些圓的公切線.這些圓是否還有其他公切線?若有,求出公切線的方程,若沒有,說明理由.

【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)還存在一條公切線,其方程為7xy+50

【解析】

I)設(shè)出圓的圓心坐標(biāo),利用圓心到直線的距離表示半徑,再根據(jù)兩圓外切的條件列方程,解方程求得圓的半徑.

II)將另一條公切線的斜率分成存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論,結(jié)合圓心到兩條公切線的距離相等列方程,由此求得另一條公切線的方程.

(Ⅰ)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(a,2a),則半徑r

兩圓的連心線長為|a1|r,

因?yàn)閮蓤A外切,所以rr+9,∴r1

(Ⅱ)如果存在另一條切線,則它必過ll1的交點(diǎn)(12),

①若斜率不存在,則直線方程為:x1,圓心C到它的距離|a1|r

由于方程需要對任意的a都成立,因此無解,所以它不是公切線,

②若斜率存在,設(shè)公切線方程為:y2kx1),

dr對任意的a都成立,,,兩邊平方并化簡得k28k+70,解得k1k7,

當(dāng)k1時,直線與l1重合,

當(dāng)k7時,直線方程為7xy+50,

故還存在一條公切線,其方程為7xy+50

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24

15

23

19

16

11

20

16

17

13

92

79

97

89

64

47

83

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