Question

18．已知橢圓E過(guò)點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=$\frac{1}{2}$，∠F₁AF₂的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)為l．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及直線(xiàn)l的方程；
（Ⅲ）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），離心率，建立方程組，求得幾何量，即可得到橢圓E的方程；
（Ⅱ）求得AF₁方程、AF₂方程，利用角平分線(xiàn)性質(zhì)，即可求得∠F₁AF₂的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)l的方程；
（Ⅲ）假設(shè)存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，設(shè)出直線(xiàn)BC方程代入橢圓E的方程，求得BC中點(diǎn)代入直線(xiàn)2x-y-1=0上，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$  （a＞b＞0）
∵橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$解a²=16，b²=12．
∴橢圓方程E為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∵A（2，3），∴AF₁方程為：3x-4y+6=0，AF₂方程為：x=2
設(shè)角平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)為P（x，y），$\frac{|3x-4y+6|\\;\\;}{5}=|\\;x-2|\$；
得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率為正，∴直線(xiàn)方程為2x-y-1=0；l與x軸的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（$\frac{1}{2}$，0）．
（Ⅲ）假設(shè)存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，∴kBC=-$\frac{1}{2}$，
∴直線(xiàn)BC方程為y=-$\frac{1}{2}$x+m代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．，
得x²-mx+m²-12=0，∴BC中點(diǎn)為（$\frac{m}{2}，\frac{3m}{4}$）
代入直線(xiàn)2x-y-1=0上，得m=4．                                      
∴BC中點(diǎn)為（2，3）與A重合，不成立，所以不存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的相異的兩點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)方程，考查對(duì)稱(chēng)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．