Question

18．如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=$\sqrt{2}$a，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1；
（1）證明：PA⊥平面ABCD；
（2）在棱PB上是否存在一點(diǎn)F，使三棱錐F-ABC是正三棱錐？證明你的結(jié)論；
（3）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知求解三角形可得PA⊥AB、PA⊥AD．再由線(xiàn)面垂直的判定得PA⊥平面ABCD；
（2）直接利用反證法證明在棱PB上不存在點(diǎn)F，使三棱錐F-ABC是正三棱錐；
（3）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于點(diǎn)H，連接EH，則EH⊥AC，可得∠EHG為二面角E-AC-D的平面角，然后求解直角三角形得EAC與DAC為面的二面角θ的大�。�

解答 （1）證明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=a．
在△PAB中，由PA=AB=a，知PA²+AB²=2a²=PB²，則PA⊥AB．
同理PA⊥AD．
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD；
（2）解：在棱PB上不存在點(diǎn)F，使三棱錐F-ABC是正三棱錐．
事實(shí)上，假設(shè)在棱PB上存在點(diǎn)F，使三棱錐F-ABC是正三棱錐．
過(guò)F作底面ABC的垂線(xiàn)，垂直為O，則O為△ABC的中心，
在平面PAB內(nèi)，過(guò)F作FM∥PA，交AB于M，則FM⊥平面PAB，
這樣，過(guò)平面ABC外一點(diǎn)F，有兩條直線(xiàn)FO，F(xiàn)M與平面ABC垂直，錯(cuò)誤．
故假設(shè)不成立，即在棱PB上不存在點(diǎn)F，使三棱錐F-ABC是正三棱錐．
（3）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于點(diǎn)H，連接EH，則EH⊥AC，
∴∠EHG為二面角E-AC-D的平面角，大小為θ．
∵PE：ED=2：1，
∴$EG=\frac{1}{3}$a，AG=$\frac{2}{3}$a，$GH=AGsin60°=\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
從而$tanθ=\frac{EG}{GH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$θ=\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，關(guān)鍵是找出二面角的平面角，訓(xùn)練了利用反證法證明存在性問(wèn)題，屬中檔題．