Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+1，

令f′（x）＜0得：0＜x＜ ，

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0， ），

令f'（x）＞0得：x＞ ，

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ，+∞）

（2）解：∵g′（x）=3x2+2ax﹣1，由題意2xlnx≤3x2+2ax+1，

∵x＞0，

∴a≥lnx﹣ x﹣ 恒成立①，

設(shè)h（x）=lnx﹣ ﹣ ，

則h′（x）= ﹣ + =﹣

令h′（x）=0得：x=1，x=﹣ （舍去）

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；

當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0

∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）有最大值﹣2，

若①恒成立，則a≥﹣2，

即a的取值范圍是[﹣2，+∞）

【解析】（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再讓其導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間，小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間．）（2）已知條件可以轉(zhuǎn)化為a≥lnx﹣ x﹣ 恒成立，對(duì)不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．