Question

【題目】已知定義在 上的函數(shù)滿足 ,當(dāng) 時(shí), .
（1）求證： 為奇函數(shù);
（2）求證： 為 上的增函數(shù);
（3）解關(guān)于 的不等式: (其中 且 為常數(shù)).

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知 ,令 ,得 ,即 .
再令 ,即 ,得 .
∴ ,
∴ 是奇函數(shù)
（2）解：設(shè) ,且 ,則 .
由已知得: ,
∴ ,
∴ .
即 在 上是增函數(shù)
（3）解：∵ ,∴ ,
∴ .
即 .
∵ ,∴ .
當(dāng) ,即 時(shí),所求不等式的解集為 或 .
當(dāng) ,即 時(shí), 所求不等式的解集為 .
當(dāng) ,即 時(shí), 所求不等式的解集為 或
【解析】(1)抽象函數(shù)的奇偶性判斷,可由函數(shù)所滿足的條件,取特殊值,得到f(x)與f(-x)的關(guān)系進(jìn)行判斷；
(2)抽象函數(shù)的單調(diào)性,用定義證明;
(3)將函數(shù)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型,由單調(diào)性脫去f得到關(guān)于x的含參數(shù)a的不等式,分類討論求解,得解集.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題．