Question

3．為調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單的隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500名老年人，結果如下：

性別 是否需要志愿者	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；
（2）能夠有99%的把握認為該地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？
（3）根據（2）的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．

Answer 1

分析 對（1）根據列聯(lián)表可求得需要志愿者提供幫助的老年人人數(shù)，再求比例；
對（2）計算K²，同臨界值表進行比較，得到有多大把握認為老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關；
對（3）計算男、女需要提供幫助的比例，來判斷分層抽樣是否更切合實際．

解答 解：（1）調查的500位老人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為$\frac{70}{500}$=14%．
（2）${K}^{2}=\frac{500×（40×270-30×160）^{2}}{200×300×70×430}$=9.967，由于9.967＞6.635，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關．
（3）由（2）得結論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關，并且從樣本數(shù)據中能看出該地區(qū)男性老年人比女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣的方法更好．

點評 本題考查獨立性檢驗．利用觀測值K²與臨界值的大小來確定是否能以一定把握認為兩個分類變量有關系．
其方法是：K≥K₀，解釋為有[1-P（k²≥k₀）]×100%的把握認為兩個分類變量有關系；K＜K₀，解釋為不能以[1-P（k²≥k₀）]×100%的把握認為兩個分類變量有關系．