Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=AD=2，CD=1，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是以AD為底的等腰三角形
（1）證明：AD⊥PB；
（2）若三棱錐C-PBD的體積等于$\frac{1}{2}$，問：是否存在過點(diǎn)C的平面CMN，分別交PB、AB于點(diǎn)M，N，使得平面CMN∥平面PAD？若存在，求出△CMN的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）要證明線線垂直，可以通過線面垂直來證明，取AD中點(diǎn)E，連PE，BE，即證明AD⊥平面PEB．利用側(cè)面PA=PD⊥底面PE⊥AD和在底面解三角形即可證明；
（2）由三棱錐的體積，求出$PE=\sqrt{3}$，取PB中點(diǎn)M，AB中點(diǎn)N，連CM，MN，CN得平面CMN∥平面PAD，取BE中點(diǎn)G，由${S_{△CMN}}=\frac{1}{2}CN•MG$，能求出結(jié)果．

解答 解：（1）取AD中點(diǎn)E，連PE，BE，
∵△PAD為等腰三角形，PA=PD
∴PE⊥AD
在直角梯形中，由AB=AD=2，CD=1，
得$BC=\sqrt{3}$，∠DAB=60°，
則△ABD為正三角形，∴BE⊥AD
∴AD⊥平面PEB，AD⊥PB．
（2）由（1）知PE⊥AD，又平面PAD⊥底面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，
則${V_{C-PBD}}={V_{P-BDC}}=\frac{1}{3}•PE×\frac{1}{2}•DC×BC=\frac{1}{2}$，∴$PE=\sqrt{3}$
取PB中點(diǎn)M，AB中點(diǎn)N，連CM，MN，CN
由MN∥PA，CN∥AD
可知平面CMN∥平面PAD
取BE中點(diǎn)G，連結(jié)MG，$MG∥PE，MG=\frac{1}{2}PE$，∴MG⊥CN，
∴存在過點(diǎn)C的平面CMN，分別交PB、AB于點(diǎn)M，N，使得平面CMN∥平面PAD，
${S_{△CMN}}=\frac{1}{2}CN•MG$=$\frac{1}{2}×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷三角形面積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．