Question

【題目】設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，，是焦點(diǎn)，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)，是橢圓上的兩點(diǎn)，且，（是定數(shù)），問線段的垂直平分線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，理由見解析

【解析】

（1）由橢圓的離心率可得出，可將橢圓方程化為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）分和兩種情況討論，在時(shí)，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，在直線的斜率存在的情況下，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出，并求出線段的垂直平分線方程，可求出線段的垂直平分線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，在直線垂直于軸時(shí)，檢驗(yàn)定點(diǎn)是否在線段的垂直平分線軸上；在時(shí)，直接根據(jù)對(duì)稱性得出結(jié)論.

（1）由于橢圓的離心率為，，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，得，

因此，橢圓的方程為；

（2）當(dāng)時(shí)，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則.

將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得.

由韋達(dá)定理可得，①，

所以，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

則線段的垂直平分線方程為，即，

即，此時(shí)，線段的垂直平分線過定點(diǎn)；

若直線垂直于軸，則點(diǎn)、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，線段的垂直平分線為軸，過點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，若直線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，則線段的垂直平分線為坐標(biāo)軸，過原點(diǎn)；

若直線、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，其垂直平分線過原點(diǎn).

綜上所述，線段的垂直平分線過定點(diǎn).