Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x
（1）當(dāng)a=1，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1+•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x ．令t=•（

1

2

）^x ，由x＜0 可得t＞1，f（x）=h（t）=(t+

1

2

)2+

3

4

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．
（2）由題意可得當(dāng)x≥0時(shí)，|f（x）|≤3恒成立，化簡(jiǎn)得[-4•2^x-(

1

2

)x]≤a≤[2•2^x-(

1

2

)x]．求得[-4•2^x-(

1

2

)x]的最大值和[2•2^x-(

1

2

)x]的最小值，可得a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1+•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x ．
令t=•（

1

2

）^x ，由x＜0 可得t＞1，f（x）=h（t）=t²+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

，
∵h(yuǎn)（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故f（t）＞f（1）=3，故不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M成立，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上不是有界函數(shù)．
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，
則當(dāng)x≥0時(shí)，|f（x）|≤3恒成立．
故有-3≤f（x）≤3，
即-4-(

1

4

)x≤a(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，
∴[-4•2^x-(

1

2

)x]≤a≤[2•2^x-(

1

2

)x]．
求得[-4•2^x-(

1

2

)x]的最大值為-4-1=-5，[2•2^x-(

1

2

)x]的最小值為2-1=1，
故有-5≤a≤1，
即a的范圍為[-5，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、新定義，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．