Question

12．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作與x軸垂直的直線交兩漸近線于A，B兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，λμ=$\frac{4}{25}$（λ、μ∈R），則雙曲線的離心率e的值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由方程可得漸近線，可得A，B，P的坐標(biāo)，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=$\frac{c}$，解之可得λμ的值，由λμ=$\frac{4}{25}$可得a，c的關(guān)系，由離心率的定義可得．

解答 解：雙曲線的漸近線為：y=±$\frac{a}$x，
設(shè)焦點(diǎn)F（c，0），
則A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
∴（c，$\frac{^{2}}{a}$）=（（λ+μ）c，（λ-μ）$\frac{bc}{a}$），
∴λ+μ=1，λ-μ=$\frac{c}$，解得λ=$\frac{c+b}{2c}$，μ=$\frac{c-b}{2c}$，
又由λμ=$\frac{4}{25}$，得得$\frac{c+b}{2c}$•$\frac{c-b}{2c}$=$\frac{4}{25}$，
解得$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及雙曲線的漸近線方程和離心率的求解，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．