Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x+3（x≤1）\\ 1nx（x＞1）\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$
• B． $[{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}]$
• D． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}）$

Answer 1

分析 由題意可得f（x）的圖象和直線y=kx-$\frac{1}{2}$有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得點(diǎn)（1，0）在直線y=kx-$\frac{1}{2}$的下方，由此可得k的范圍．再求出直線y=kx-$\frac{1}{2}$和y=lnx相切時(shí)k的值，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x+3（x≤1）\\ 1nx（x＞1）\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴f（x）的圖象和直線y=kx-$\frac{1}{2}$有4個(gè)交點(diǎn)．
做出函數(shù)f（x）的圖象，如圖，故點(diǎn)（1，0）在直線y=kx-$\frac{1}{2}$的下方，
∴k•1-$\frac{1}{2}$＞0，解得k＞$\frac{1}{2}$．
再根據(jù)當(dāng)直線y=kx-$\frac{1}{2}$和y=lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，
則 k=$\frac{lnm+\frac{1}{2}}{m-0}$=$\frac{1}{m}$，∴m=$\sqrt{e}$，此時(shí)，k=$\frac{1}{m}$=$\frac{\sqrt{e}}{e}$，f（x）的圖象和直線y=kx-$\frac{1}{2}$有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，
故要求的k的范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{e}}{e}$），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，求曲線的切線的斜率，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．