Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣ sin2x+sinxcosx．
（1）當x∈[0， ]時，求f（x）的值域；
（2）用五點法在圖中作出y=f（x）在閉區(qū)間[﹣ ， ]上的簡圖；
（3）說明f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣的變化得到？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣ sin2x+sinxcosx

=sin2x+ cos2x

=2sin（2x+ ），

∵x∈[0， ]，2x+ ∈[ ， ]，

∴f（x）=2sin（2x+ ）∈[﹣ ，2]．

（2）解：列表：

2x+	0		π		2π
x	﹣
y	0	2	0	﹣2	0

作圖：

（3）解：把y=sinx的圖象向左平移 個單位，可得函數(shù)y=sin（x+ ）的圖象；

再把所得圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍，可得函數(shù)y=sin（2x+ ）的圖象；

再把所得圖象上的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù)y=2sin（2x+ ）的圖象．

【解析】（1）由條件利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+ ），由x∈[0， ]根據正弦函數(shù)的定義域和值域即可得解．（2）用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖．（3）根據函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握描點法及其特例—五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）；圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．