Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{（x-1）^2}+2，\;\;\;x≤1\\ \frac{1}{x}+1，\;\;x＞1\;.\;\;\end{array}\right.$下列四個(gè)命題：
①f（f（1））＞f（3）；
②?x₀∈（1，+∞），$f'（{x_0}）=-\frac{1}{3}$；
③f（x）的極大值點(diǎn)為x=1；
④?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≤1
其中正確的有①②③④．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 解：函數(shù)f（x）的圖形如圖所示，
對(duì)于①，f（1）=2，f（f（1））=f（2）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{4}{3}$，．
對(duì)于②，x＞1時(shí)，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，⇒x=$\sqrt{3}$．．
對(duì)于③，根據(jù)圖形可判斷．
對(duì)于④，由x∈（0，+∞）時(shí)，1＜f（x）≤2，可判斷

解答 解：函數(shù)f（x）的圖形如圖所示，
對(duì)于①，f（1）=2，f（f（1））=f（2）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{4}{3}$，故①正確．
對(duì)于②，x＞1時(shí)，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，⇒x=$\sqrt{3}$．故②正確．
對(duì)于③，根據(jù)圖形可判斷③正確．
對(duì)于④，x∈（0，+∞）時(shí)，1＜f（x）≤2，
∴?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≤1正確
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．