Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$mcos2x+（m-2）sinx，其中1≤m≤2，若函數(shù)f（x）的最大值記為g（m），則g（m）的最小值為（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． 1
• C． 3-$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 利用二倍角公式化簡(jiǎn)f（x），轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題求解函數(shù)f（x）的最大值g（m），可得g（m）的表達(dá)式，利用基本不等式即可求出g（m）的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$mcos2x+（m-2）sinx，
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{1}{2}$m（1-2sin²x）+（m-2）sinx=$\frac{1}{2}$m-msin²x+（m-2）sinx=$\frac{1}{2}$m-[msin²x+（2-m）sinx]，
令y=msin²x+（2-m）sinx，
∵1≤m≤2，開(kāi)口向上，
對(duì)稱軸sinx=$\frac{m-2}{2m}$，
∴$-\frac{1}{2}$≤sinx≤0．
故當(dāng)sinx=$\frac{m-2}{2m}$時(shí)，f（x）取得最大值為g（m）=$\frac{1}{2}m$-m×（$\frac{m-2}{2m}$）²+（m-2）×$\frac{m-2}{2m}$=$\frac{3}{4}m+\frac{1}{m}-1$．
由$\frac{3}{4}m+\frac{1}{m}-1$$≥2\sqrt{\frac{3}{4}m×\frac{1}{m}}-1$=$\sqrt{3}-1$，（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{4}m=\frac{1}{m}$，即m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)取等號(hào)）
故得g（m）的最小值為：$\sqrt{3}-1$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題和三角函數(shù)化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化思想．基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．