Question

9．菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對(duì)蔬菜進(jìn)行噴灑，以防止害蟲的危害，但采集上市時(shí)蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥，食用時(shí)需要用清水清洗干凈，下表是用清水x（單位：千克） 清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y（單位：微克） 的統(tǒng)計(jì)表：

x	1	2	3	4	5
y	58	54	39	29	10

（1）在下面的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖，并判斷變量x與y的相關(guān)性；
（2）若用解析式$\widehaty=c{x^2}+d$作為蔬菜農(nóng)藥殘量$\widehaty$與用水量x的回歸方程，令ω=x²，計(jì)算平均值$\overlineω$與$\overline y$，完成以下表格（填在答題卡中），求出$\widehaty$與x的回歸方程．（c，d精確到0.1）

ω	1	4	9	16	25
y	58	54	39	29	10
${ω_i}-\overlineω$	-10	-7	-2	5	14
${y_i}-\overline y$	20	16	1		-28

（3）對(duì)于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當(dāng)它的殘留量低于20微克時(shí)對(duì)人體無害，為了放心食用該蔬菜，請(qǐng)
估計(jì)需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)$\sqrt{5}≈2.236$）
（附：線性回歸方程$\widehaty=bx+a$中系數(shù)計(jì)算公式分別為；$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$a=\overline y-b\overline x$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意描出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷變量x與y的相關(guān)性；
（2）計(jì)算$\overline{ω}$、$\overline{y}$，填表即可，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；
（3）求$\widehaty＜20$時(shí)x的取值范圍即可．

解答 解：（1）在下面的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖如圖所示，
根據(jù)散點(diǎn)圖知變量x與y負(fù)相關(guān)；

（2）計(jì)算$\overline{ω}$=$\frac{1}{5}$×（1²+2²+3²+4²+5²）=11，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（58+54+39+29+10）=38；
填表如下；

ω	1	4	9	16	25
y	58	54	39	29	10
${ω_i}-\overlineω$	-10	-7	-2	5	14
${y_i}-\overline y$	20	16	1	-9	-28

計(jì)算$c=\frac{{-10×20+（{-7}）×16+（{-2}）×1+5×（{-9}）+14×（{-28}）}}{{{{（{-10}）}^2}+{{（{-7}）}^2}+{{（{-2}）}^2}+{5^2}+{{14}^2}}}=\frac{751}{374}=-2.008≈-2.0$，
$d=\overline y-c\overlineω=38+2.0×11-60.0$，
∴回歸方程為$\widehaty=-2.0ω+60.0=-2.0{x^2}+60.0$；
（3）當(dāng)$\widehaty＜20$時(shí)，-2.0x²+60.0＜20，
解得x＞2$\sqrt{5}$≈4.5，
∴為了放心食用該蔬菜，估計(jì)需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，也考查了線性回歸方程的計(jì)算問題，是綜合題．